Przez osiem dekad matematycy uważali hipotezę jednostkowych odległości Paula Erdősa za jeden z najbardziej fundamentalnych problemów geometrii kombinatorycznej. W maju 2026 roku wewnętrzny model OpenAI ją obalił, sięgając po narzędzia z zupełnie innej dziedziny matematyki.
Kluczowe fakty:
- Wewnętrzny model OpenAI obalił w maju 2026 roku hipotezę jednostkowych odległości Paula Erdősa, postawioną w 1946 roku i uznawaną przez dekady za jeden z fundamentalnych problemów geometrii kombinatorycznej.
- Dowód wykazuje, że dla nieskończenie wielu wartości n istnieją konfiguracje punktów dające co najmniej n^(1+δ) par w odległości jednostkowej, gdzie δ = 0,014 (wartość ustalona przez Willa Sawina z Princeton), co obala dotychczasowe górne ograniczenie n^(1+o(1)).
- Nowa konstrukcja zastępuje liczby Gaussa, stosowane w oryginalnym podejściu Erdősa, bardziej złożonymi rozszerzeniami z algebraicznej teorii liczb.
Sprawa dotyczy pytania, które brzmi banalnie: rozstawiamy n punktów na płaszczyźnie, ile par punktów może być od siebie oddalonych dokładnie o jeden? Erdős postawił je w 1946 roku i od razu podejrzewał, że odpowiedź jest bliska liniowej. Sądził, że nie da się zbudować konfiguracji dużo lepszej niż przeskalowana siatka kwadratowa, i tę intuicję sformalizował jako górne ograniczenie n^(1+o(1)).
Problem urósł do rangi legendy środowiska. W książce Research Problems in Discrete Geometry Brass, Moser i Pach nazwali go być może najbardziej znanym i najprościej dającym się wytłumaczyć problemem geometrii kombinatorycznej. Sam Erdős wyznaczył za jego rozwiązanie nagrodę pieniężną. Noga Alon z Princeton, jeden z recenzentów nowego dowodu, określił go jako jeden z ulubionych problemów Erdősa, o którym mówił wielokrotnie na wykładach.
Znajdź dostawcę, partnera lub narzędzie dla swojego biznesu, a jeśli prowadzisz firmę, która w swoim DNA ma AI, skorzystaj z możliwości bezpłatnego dodania swojej firmy.
Co dokładnie udowodniono
Model OpenAI, opisany jako ogólnego przeznaczenia system rozumujący, a nie narzędzie trenowane specjalnie pod matematykę, otrzymał zadanie w ramach szerszego testu na zbiorze problemów Erdősa. Wynik, który zwrócił, obala hipotezę: dla nieskończenie wielu wartości n istnieją konfiguracje punktów dające co najmniej n^(1+δ) par w odległości jednostkowej, gdzie δ jest ustaloną stałą większą od zera.
Pierwotny dowód nie podawał jawnej wartości δ. Uzupełnienie od Willa Sawina z Princeton pokazało, że można przyjąć δ = 0,014. To wystarczy, by pokazać, że wieloletnia górna granica n^(1+o(1)) jest po prostu fałszywa, a nie tylko trudna do poprawienia.
Zaskakujące jest źródło techniki. Konstrukcja Erdősa z 1946 roku opierała się na liczbach Gaussa, czyli liczbach postaci a+bi. Nowy dowód zastępuje je znacznie bardziej złożonymi rozszerzeniami z algebraicznej teorii liczb: nieskończonymi wieżami ciał klas i teorią Golода-Szafarewicza. To narzędzia dobrze znane teoretykom liczb, ale nikt wcześniej nie podejrzewał, że mają zastosowanie do elementarnego pytania z geometrii euklidesowej.
Materiały źródłowe: OpenAI opublikowało pełny dowód, notatkę towarzyszącą zewnętrznych matematyków oraz skrócony zapis toku rozumowania modelu, dostępne bezpośrednio na stronie ogłoszenia: openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture.
Weryfikacja i głosy uznanych matematyków
Fields medalista Tim Gowers napisał w materiale towarzyszącym, że gdyby dowód z takim wynikiem napisał człowiek i przesłał go do „Annals of Mathematics”, zarekomendowałby publikację bez wahania, dodając że żaden wcześniejszy dowód wygenerowany przez AI nie zbliżył się do tego poziomu.
Noga Alon ocenił, że rozwiązanie problemu przez wewnętrzny model OpenAI jest wybitnym osiągnięciem rozstrzygającym długo otwarty problem, a fakt, że poprawna odpowiedź nie jest równa n^(1+o(1)), jest zaskakujący i wymaga zastosowania wyrafinowanych narzędzi z algebraicznej teorii liczb w elegancki sposób.
Teoretyk liczb Arul Shankar zwrócił uwagę na coś innego: analizę toku rozumowania modelu. Zauważył, że model w większości prób próbował skonstruować kontrprzykład obalający powszechnie przyjętą górną granicę, zamiast próbować ją udowodnić, co jego zdaniem świadczy o intuicji i skłonności do prób uznawanych przez środowisko za mało obiecujące.
Ten wynik trzeba czytać razem z jego kontekstem, a nie w oderwaniu od niego. W październiku 2025 roku OpenAI ogłosiło, że jeden z jego modeli rozwiązał dziesięć problemów z listy Erdősa, po czym Thomas Bloom, który prowadzi bazę erdosproblems.com, nazwał tę komunikację wprost mylącą, bo model w rzeczywistości odtworzył już znane rozwiązania. Fakt, że tym razem pod wynikiem podpisali się ci sami sceptycy, w tym sam Bloom, daje mu wagę, jakiej nie miało poprzednie ogłoszenie. Doceniam to rozróżnienie, bo w świecie AI łatwo o komunikat prasowy, trudniej o dowód, który przetrwa czytanie linijka po linijce przez ludzi mających powód, by szukać dziury. Pozostaje pytanie, którego dowód nie rozstrzyga: jak dokładnie model doszedł do tej konstrukcji, ile prób i jakiego rusztowania promptów użyto, bo tego z zewnątrz nikt nie jest w stanie zweryfikować. Sama matematyka została sprawdzona. Proces jej powstania nie.
Piotr Wolniewicz, Redaktor Naczelny AIPORT.pl
Kilka dni po ogłoszeniu OpenAI własny wynik przedstawił Google DeepMind. System AlphaProof Nexus rozwiązał dziewięć innych problemów z listy Erdősa oraz udowodnił 44 dodatkowe twierdzenia z bazy OEIS, korzystając z zupełnie innego podejścia opartego na formalnej weryfikacji w asystencie dowodów Lean, w przeciwieństwie do naturalnojęzykowego rozumowania OpenAI z ludzką weryfikacją.
Chcesz czytać więcej treści związanych z AI?
Dodaj AIPORT.pl do preferowanych źródeł Google
Co to oznacza dla polskiej matematyki i debaty o AI
Wynik OpenAI wywołał w środowisku matematycznym coś więcej niż entuzjazm. Niedługo po ogłoszeniu powstała Deklaracja Lejdejska dotycząca sztucznej inteligencji i matematyki, podpisana przez badaczy z kilkunastu krajów, domagająca się przejrzystości, obowiązkowego ujawniania użycia AI w publikacjach i ochrony autorstwa. Ilka Agricola, kierująca Komitetem ds. Publikacji Międzynarodowej Unii Matematycznej, mówiła wprost, że pozytywny wydźwięk wyniku ginie w porównaniu z zamieszaniem, jakie wywołał wokół procedur recenzenckich, bo skrzynki redakcyjne czasopism zaczęły puchnąć od dowodów generowanych przez modele językowe, często bez podania źródła.
W Polsce temat granic możliwości AI w matematyce badał zespół z udziałem dr. Bartosza Naskręckiego z Centrum Sztucznej Inteligencji UAM w Poznaniu, jedynego przedstawiciela kraju w międzynarodowej trzydziestoosobowej grupie twórców benchmarku FrontierMath, testu obejmującego zadania z realnych badań matematycznych, a nie zadania konkursowe. Wnioski z tamtego testu były dla AI znacznie mniej pochlebne niż wynik z problemem Erdősa: najlepsze ówczesne modele radziły sobie z ułamkiem zadań. Podobny obraz dał czerwcowy projekt First Proof, w którym cztery systemy AI zmierzyły się z dziesięcioma nieopublikowanymi jeszcze twierdzeniami z bieżącej pracy badawczej i wypadły znacznie słabiej niż na standardowych testach konkursowych.
Rozwiązanie problemu Erdősa pokazuje więc coś bardziej niejednoznacznego niż prosty postęp liniowy. Zestawienie obu wyników sugeruje, że modele mogą trafić w konkretny, spektakularny problem dzięki nietypowej kombinacji intuicji i technik, jednocześnie potykając się na znacznie mniej efektownych, ale typowych zadaniach z codziennej pracy matematyka.
Kilka punktów wartych zapamiętania z tej historii:
- Górna granica n^(1+o(1)) postawiona przez Erdősa w 1946 roku okazała się fałszywa, co potwierdza konstrukcja dająca co najmniej n^(1+0,014) par punktów w odległości jednostkowej.
- Najlepsza wcześniej znana górna granica O(n^(4/3)) pochodzi z pracy Spencera, Szemerédiego i Trottera z 1984 roku i pozostaje aktualna.
- Dowód wykorzystuje nieoczywiste połączenie geometrii płaszczyzny z teorią wież ciał klas i twierdzeniem Golода-Szafarewicza z algebraicznej teorii liczb.
- Google DeepMind ogłosił równoległy wynik z użyciem formalnego weryfikatora Lean, rozwiązując dziewięć innych problemów Erdősa.
- Środowisko matematyczne odpowiedziało Deklaracją Lejdejską domagającą się przejrzystości w kwestii wykorzystania AI w publikacjach naukowych.
Dane rynkowe i skala zjawiska
Skala inwestycji w modele rozumujące dedykowane badaniom naukowym rośnie równolegle z tymi ogłoszeniami. OpenAI i Google DeepMind rywalizują obecnie nie tylko na polu produktów konsumenckich, ale i na froncie „AI dla nauki”, gdzie oba ogłoszenia z maja 2026 roku pojawiły się w odstępie jednego dnia, co samo w sobie sugeruje wyścig o palmę pierwszeństwa w tej kategorii. Rosnąca liczba dowodów generowanych lub wspomaganych przez AI trafiających do redakcji czasopism matematycznych, o której mówiła Ilka Agricola, stała się bezpośrednim impulsem dla powstania nowych zasad publikacyjnych formułowanych w Deklaracji Lejdejskiej.
Za każdą polską firmą AI stoi konkretny człowiek z imieniem i nazwiskiem, często ten sam w kilku miejscach naraz, i to właśnie ludzie, nie tabelki finansowania, są prawdziwym bohaterem tego artykułu.
Kwestia autorstwa pozostaje otwarta
Dowód OpenAI stawia pytanie, na które nauka nie ma jeszcze gotowej odpowiedzi: komu przypisać odkrycie, jeśli konstrukcję wygenerował model, a rola ludzi ograniczyła się do weryfikacji i dopracowania argumentu. Thomas Bloom napisał w notatce towarzyszącej, że kluczowe pytanie przy ocenie znaczenia dowodu wygenerowanego przez AI brzmi, czy nauczył nas czegoś nowego o samym problemie, i ocenił, że w tym przypadku odpowiedź jest umiarkowanie twierdząca, bo konstrukcje z teorii liczb mają więcej do powiedzenia o geometrii kombinatorycznej, niż dotąd sądzono.
Redakcje czasopism i komitety nagród, jak zauważają komentatorzy śledzący sprawę, wciąż nie mają ustalonych procedur uznawania autorstwa dowodów wygenerowanych przez AI, co przy powtórzeniu podobnych sukcesów może szybko stać się źródłem sporów.
Źródła i metodologia
Artykuł powstał na podstawie analizy redakcji AIPORT.pl oraz materiału źródłowego CHIP.pl z dnia 18.07.2026, a przede wszystkim pierwotnego ogłoszenia OpenAI z 20 maja 2026 roku wraz z opublikowanym dowodem matematycznym. Wykorzystano również doniesienia Let’s Data Science oraz relację portalu The Conversation. Cytaty Nogi Alona, Tima Gowersa i Arula Shankara zostały zweryfikowane z oryginalnym anglojęzycznym materiałem OpenAI. Kontekst dotyczący Deklaracji Lejdejskiej oparto na relacji Academia PAN, a informacje o pracach dr. Bartosza Naskręckiego z UAM na komunikacie prasowym Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. Komentarz redakcyjny i ocena kontekstu branżowego: Piotr Wolniewicz, Redaktor Naczelny AIPORT.pl. Artykuł będzie aktualizowany w miarę pojawiania się nowych informacji w temacie wykorzystania AI w badaniach matematycznych.
